6道有趣的智力题

一

有20瓶药丸，其中19瓶装有1克/粒的药丸，余下一瓶装有1.1克/粒的药丸。给你一台称重精准的天平，怎么找出较重的那瓶药丸？天平只能使用一次。

初次看到这题，如果不限制次数，那么可以二分法，天平两边10个比较，直到找到较重的为止。

但是，现在限制只能使用一次天平。

怎么办呢？

假设只有两瓶药丸，一瓶较重，从两瓶中各取一粒，称重为2.1克，我们无法得知是从哪一瓶多出的0.1克。

我们需要将因子不平衡，如果从1号药瓶取出1粒，从2号药瓶取出2粒，如果算出重量是3.1克，那么1号瓶较重，如果算出重量为3.2克，那么2号瓶较重。

我们将这个结论推广一下，从1号药瓶取出1粒，从2号药瓶取出2粒，以此类推，如果每粒药丸均重1克，那么得到总重量为（1+2+3+…+20=21*20/2=210）, 因此，如果称重为210.9克，那么较重的那瓶来自于9号瓶。

二

有个8*8的棋盘，其中对角的角落有两个方块被切掉了。给定31块多米诺骨牌，一块骨牌恰好可以覆盖两个格子。用31块骨牌能否盖住整个棋盘呢？

乍一看，棋盘88=64，多米诺312=62，刚好能盖住。。其实是错觉

假设棋盘有32个黑格和32个白格交叉排列，切掉对角的方格是同种颜色的，此时只剩30个黑格和32个白格（或32个黑格和30个白格）， 而一块多米诺骨牌必须要覆盖一个白格和一个黑格，31块多米诺骨牌要覆盖31个白格和31个黑格。

三

有两个水壶，容量为5升和3升，若水量不限量，怎么用这两个水壶得到4升的水？注：水壶不规则形状，无法精确装满半壶水。

四

在岛上住着一群人，有一天来了一个游客，定了奇怪的规矩：所有的蓝眼睛必须尽快离开岛。 每个人都能看到别人眼睛的颜色，但不知道自己眼睛的颜色（别人不能告知）， 此外他们不知道有多少个蓝眼睛，只知道至少有一个蓝眼睛，每个人都是聪明的，那么蓝眼睛要花几天才能离开这个岛呢？

假设有c个蓝眼睛，且c>0 1、c=1：只有一个蓝眼睛 蓝眼睛的人观察之后发现没有蓝眼睛，那么一定能推导出自己是蓝眼睛，因此他会当天离开

2、c=2：两个蓝眼睛 两个蓝眼睛看到对方，不确定c=1或2，但是由于上种情况，他们知道c=1时，蓝眼睛当天会离开，如果第二天发现对方没有离开，那么一定能推导出自己也是蓝眼睛，于是，两个蓝眼睛会在第二天离开

3、c>2 如果c=3，这三个人会意识到有2-3个人是蓝眼睛，如果2人蓝眼睛，会在第二天全部离开，因此，如果第二天另外两个人都在岛上，每个人都能推导出自己是蓝眼睛，于是会在第三天离开。 当逐步提高c时，发现这个逻辑是适用的。

如果有c人蓝眼睛，则所有的蓝眼睛要用c天离开这个岛

五

有个建筑高100米。若从第N层或更高的楼层扔鸡蛋，鸡蛋会破，若从N层以下的楼层扔下来不会破。 恰好你有两个鸡蛋，求出N，并要求最差情况下扔鸡蛋次数最少。

我们发现，无论我们怎么扔鸡蛋，第二个鸡蛋都必须在破掉的那一层和没有破掉的那一层逐层累加。 例如，鸡蛋1在5层没破，10层没破，15层破了，那么鸡蛋2必须从11,12,13,14尝试

具体做法 假设步长为10

鸡蛋1从10层扔下，如果破掉了，最多需要扔10次 鸡蛋1从100层扔下才破掉，最多需要扔19次。

那么我们的目的就是求这个步长，使得最好情况和最差情况类似。 也就是说，鸡蛋1每扔一次，就要减少鸡蛋2扔的次数。 例如，鸡蛋1从20层扔，然后从30层扔，鸡蛋2可能要扔9次， 若鸡蛋1再扔一次，我们要让鸡蛋2扔的次数减少，也就是说鸡蛋1要从39层开始扔。 因此 x + （x-1） + （x-2） +… + 1 = x(x+1)/2=100 -> x=14

六

走廊上有100个关上的储物柜。 第一轮，将100柜子全部打开； 第二轮，每数两个柜子关上一个； 第三轮，每隔两个柜子切换柜子状态（就是将关上的柜子打开，打开的柜子关上）； 照此规律，重复100次，当结束时，有多少个柜子是打开的？

柜子n会在每隔因子对应的那一轮切换状态，例如15的因子有1,3,5,15,因子个数为偶数，所以柜子15是关着的

那么什么样的整数因子的个数是奇数？ 我们可以将因子配对，15的因子有(1,15),(3,5)。 那么36的因子有(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),注意(6,6)其实是一个因子,36有奇数个因子

结论:如果是完全平方数会有奇数个因子，100以内的完全平方数有 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.共10个